Metode Big-M

Pengantar Optimisasi Metode Big-M untuk Program Linier 

Jika kita sudah mempelajari simplex. Itu adalah dasar dari optimisasi program linier. Memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif. Metode tabel sendiri tidak lain adalah simplex yang dibentuk tabel untuk memudahkan perhitungan. Bagaimana dengan metode Big-M? adakah bedanya dengan simplex? Tentu saja.. walaupun sama-sama menyelesaikan masalah program linier.

Metode simplex tidak bisa menyelesaikan program linier dengan cepat jika kita menghitung manual. Makanya kita menggunakan metode tabel. Tapi kelemahan metode tabel ini. BFS awalnya harus identitas. Tidak selamanya program linier yang ditambahkan slack variabel bisa memiliki BFS awal yang identitas.

Minimumkan

 Dengan kendala:

Sekarang kendala kita jadikan bentuk baku dan fungsi objektifnya menjadi sama dengan 0:

Minimumkan

Dengan kendala:

Saya akan memilih basis awal/BFS awal 3,4,5 seperti biasa dari slack variabel. Maka tabel awalnya akan begini:

BFS awal bukan identitas. Kita tidak boleh mengalikan -1 pada baris variabel  dan  karena akan berakibat R menjadi negatif. Sementara dalam metode tabel, pada pertukaran basis; jangan sampai nilai R negatif karena bisa mengakibatkan beberapa basis tidak bisa keluar, dan ini bisa berakibat fatal, anda akan berputar terus-terusan tanpa dapat solusi optimal atau solusi optimal bisa salah.

ITULAH kelemahan metode tabel jika BFS awal bukan identitas anda akan terjebak di looping selamanya, 1 masuk 4 keluar, lalu berikutnya 2 masuk 1 keluar. Lalu 4 masuk lagi 2 keluar. Begitu terus seperti terjebak di labirin. Atau proses stop tapi ternyata solusi tidak optimal.

Untuk kasus seperti ini dimana variabel basis anda bukan identitas dibuatlah metode Big-M. kita sudah punya slack variabel. Tapi kita menginginkan basis awal yang identitas. Jadi perlu ditambahkan artificial variabel, banyak banget ya? Tenang artificial variabel ini hanya agar kita bisa memiliki basis awal yang identitas. Sesudah itu kita kembali dengan metode tabel.

Algoritma Metode Big M:

Minimumkan

Dengan kendala:

1.Menambahkan artificial variabel agar BFS bisa menjadi identitas

Tambahkan artificial variabel dan jadikan ke bentuk:

Minimumkan

Dengan kendala:

adalah artificial variabel. Sehingga BFS awal kita bisa menjadi identitas. Dan mudah untuk mencari solusi optimumnya.

Artificial variabelnya akan kita paksa jadi 0 selama proses Big-M ini. Harus ya.. dipaksa.. Ya dengan kata lain Big-M itu proses mengutak-atik agar metode simplex atau tabel bisa dilakukan.

2.Buat tabel awalnya

Seperti biasa saya titik-titik karena isinya nanti itu konstanta dari fungsi objektif dan kendala program linier.  Sementara baris z yang berada di kolom artificial variabel diberi tanda –M. itulah M kita. Big-M. M besar. Menang, MENANG.

Maksud dari Big-M ini adalah menambahkan konstanta M, sebuah bilangan bulat positif yang sangat besar, sangat sangat sangat besar sekali. Gausah dibayangkan... 9793865864823648236423, bahkan lebih besar dari itu.

M itu merupakan alat bantu. Agar program linier bisa diselesaikan dengan simplex atau tabel. Jika suatu program linier bentuknya walau sudah ditambah slack variabel tidak bisa diselesaikan: looping atau solusi optimalnya salah. Metode Big-M ini digunakan agar solusinya konvergen ke solusi optimal dengan simplex.

Kalau anda penasaran maksud dan penjelasan M ini. Bisa dicari sendiri. Baca bukunya, saya bikin blog bukan copas buku.

Kalikan baris basis artificial variabelnya dengan M lalu tambahkan ke baris z

Jika bingung lebih baik liat contoh nanti. Di buku juga langsung contoh ga ada dikasih algoritma kaya saya gini.

Setelah tahap ketiga ini anda langsung gunakan metode tabel, tahap pencarian basis baru, ditukar lalu sampai dapat solusi optimal.

Sedikit kan? Namanya saja metode Big-M itu pengantar menuju metode simplex atau tabel. Saya sering tulis tabel karena kalau saya pakai simplex ribet ngitungnya. Tapi sama saja mau pakai simplex atau tabel habis ini, kan metode tabel itu SIMPLEX yang DITABELKAN.

SELESAI

Sekarang kita langsung contoh coba Big-M ini benar ga nih? Atau cuma gede otot doank otak kosong. Big-Muscle

Minimumkan

Dengan kendala:

1.Menambahkan artificial variabel agar BFS bisa menjadi identitas

Sekarang agar bisa dapat basis awal identitas, maka perlu ditambah artificial variabel:

Minimumkan

Dengan kendala:

2.Buat tabel awalnya

3.Kalikan baris basis artificial variabelnya dengan M lalu tambahkan ke baris z

Variabel artificial itu hanya variabel 6 dan 7 ya jadi kalikan baris variabel 6 dan 7 dengan M lalu ditambahkan ke baris z hasilnya adalah:

Ini adalah tabel yang sudah bisa di-metode tabelkan / disimplexkan.

4. Metode tabel siap dimulai

Anda gabosen kan dengan metode tabel? Malah enak minta nambah? Cari basis baru liat baris z paling maksimum yang lebih besar dari 0 lalu dari yang harus dikeluarkan dari basis. Untuk ditukar. Terus ganti jadi tabel iterasi kedua, ulang lagi cari basis baru; sampai baris z tidak ada lagi yang lebih besar dari 0, alias tidak ada lagi basis baru yang bisa masuk.

Sebenarnya jika anda simak baik-baik memang benar metode Big-M ini pengantar menuju metode tabel/simplex. Karena ujung-ujungnya kita akan pakai lagi metode tabel. Karena memang untuk mencari solusi optimal program linier baru satu metode yang ada yaitu SIMPLEX. Tabel itu versi mudah simplex jadi ngitungnya gampang. Nanti jika ada yang mau bikin metode menyelesaikan program linier namanya jangan menipu kaya gini ya.. simplex tapi ribet.

Saya tandai baris dan kolom pivotnya sisanya anda hitung sendiri. Cek apakah hitungan anda sudah benar. saya tandai langsung saja semua ya.

Tabel Iterasi ke 2:

Tabel Iterasi ke 3:

Tabel Iterasi ke 4:

Tabel Iterasi ke 5:

Sudah selesai akhirnya..

Jadi solusi optimal dengan fungsi objektif akan minimum bernilai -6, untuk nilai variabel:

Dan juga nonbasis termasuk slack dan artificial variabelnya akan sama dengan 0:

Minimumkan

Nilai tersebut adalah yang paling minimum sekaligus juga memenuhi kendala.

Yang penting kan diawal itu yang ditanya hanya 2 variabel. Lalu kita tambahkan slack variabel, lalu ada lagi artificial variabel. Penambahan variabel macam-macam ini sebenarnya tidak merubah masalah optimisasi yang kita punya.

Jadi jika tadi sudah didapat BFS optimal itu adalah variabel 2,3,4 dengan nilai:

Otomatis variabel lain bernilai 0.

Selain optimal, nilainya akan memenuhi kendala:

Yang saya maksud tidak merubah masalah optimisasi itu, seperti ketika masalah maksimum jadi minimum; tidak akan merubah hasilnya, cuma dikali minus nilai optimal akhirnya saja. Begitu juga pada kendala, jika kendala yang sudah ditambah slack dan artificial variabel terpenuhi. Kendala awal(dari masalah optimisasi yang sebenarnya) pasti terpenuhi juga.

Cek saja masukkan:

dan

Pasti terpenuhi..

Sebenarnya selain metode Big-M ini ada juga metode dua fase. Tapi sama saja. Metode dua fase dan Big-M merupakan pengantar menuju metode simplex atau tabel. Saya buat artikel Big-M karena ini lebih singkat algoritmanya. Jika menggunakan metode dua fase juga hasilnya pasti sama. Kan intinya mencari nilai optimum. Hanya saja kalau dua fase dibagi dua tahap menghitung tabelnya, tahap pertama menghilangkan artificial variabel lalu baru masuk ke simplex. Kalau Big-M bisa langsung saja tidak usah pakai 2 tahap.

Ini pasti artikel tentang metode pengantar optimisasi paling singkat. Yaiyalah tapi kan isinya itu kalau anda mau ngerti anda perlu baca yang artikel metode tabel dulu. Kalau ga nanti bingung.. ajaib tabelnya bisa berubah. Disini juga ga saya jabarkan perubahan isi tabelnya karena itu jadi latihan anda. jangan malas. Nanti alzheimer lho. Ga nyumpahin, tapi kenyataan. Coret-coret hitung, metode tabel itu mudah.

Artikel simplex juga perlu dibaca karena itu adalah dasarnya. Metode tabel kan dibuat berdasarkan simplex. Coba tebak saya udah bilang berapa kali metode tabel itu adalah simplex yang ditabelkan? Pasti lebih dari sekali dua kali. Karena penting anda tahu metode untuk mencari nilai optimum suatu program linier itu baru satu saja yaitu simplex. Sisanya adalah pengantar ke simplex, atau modifikasi simpel dari simplex = tabel.

Soalnya saya dapat kabar burung kalau ada yang kira metode tabel itu beda dari simplex. Saya memang ga pernah tulis notasi simplex seperti B, A perkalian vektor c transpose, dll pada metode tabel. Karena itu ada dibuku. Isi dari tabel itu sebenarnya vektor c transpose, dan kolom R isinya vektor b, dll. Kalau saya bilang gitu pada artikel metode tabel bukannya anda jadi pusing? Saya langsung kasih tahu aja cara hitungnya gimana yang gampang. Anda penasaran ya baca bukunya kenapa bisa dibuat tabel begitu dari metode simplex.

Tapi saya berani jamin anda lebih ngerti baca artikel saya tentang metode tabel. Dibanding di buku. Karena saya juga beranjak dari gatau, lugu, nanya ke adik kelas. Ih anak mat 2011 dan 2012 menjanjikan semua.. pintar-pintar. Nanya acak aja pasti bisa jawab. Jadi kalau dikelas ga ngerti, tanya mereka.. trus catat.. dirumah dikerjain lagi sampai bisa. Ternyata dapat sendiri cara yang gampang ngerjainnya. Ini sebenarnya juga berkat mereka kalau aku ga ngerti metodenya gimana, kan aku juga gabisa nulis blog ini. Ga kaya orang yang nulis blog copas dari dosen lah. Ngerti ga ngerti artikelnya ada..

Ya sekalian lah, kan selasa besok mau UTS, bahannya dari simplex, tabel sampai Big-M. aku gausah baca buku. Aku mau print artikelku sendiri. Itulah gunanya kalau ngerti jangan cuma untuk diri sendiri. Tulis lagi.. bahkan aku jadiin blog, gratis orang boleh liat, tapi jangan dicopas tanpa izin. Jika suatu hari nanti kalau lupa, aku baca artikelku lagi aku bakal inget dan ngerti, selain bahasanya enak. Penjelasannya lugas, sistematis dan ga kaku.

Sumber : http://monyetlogam.blogspot.co.id/2014/10/pengantar-optimisasi-metode-big-m-untuk_21.html

teori antrian dan model antrian

TEORI ANTRIAN DAN MODEL MODEL ANTRIAN

Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari–hari. Menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada bank, pada kasir supermarket, dan situasi–situasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.
Antrian yang panjang sering kali kita lihat di bank saat nasabah mengantri di teller untuk melakukan transaksi, airport saat para calon penumpang melakukan check-in, di super market saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil : mobil antri untuk dicuci dan masih banyak contoh lainnya. Di sektor jasa, bagisebagian orang antri merupakan hal yang membosankan dan sebagai akibatnya terlalu lama antri, akan menyebabkan pelanggan kabur. Hal ini merupakan kerugian bagi organisasi tersebut.
Untuk mempertahankan pelanggan, sebuah organisasi selalu berusaha untuk memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan menunggu (mengantri) terlalu lama. Namun demikian, dampak pemberian layanan yang cepat ini akan menimbulkan biaya bagi organisasi, karena harus menambah fasilitas layanan. Oleh karena itu, layanan yang cepat akan sangat membantu untuk mempertahankan pelanggan, yang dalam jangka panjang tentu saja akan meningkatkan keuntungan perusahaan.
Antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan
keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan / nasabah.
Salah satu model yang sangat berkembang sekarang ini ialah model matematika. Umumnya, solusi untuk model matematika dapat dijabarkan berdasarkan dua macam prosedur, yaitu : analitis dan simulasi. Pada model simulasi, solusi tidak dijabarkan secara deduktif. Sebaliknya, model dicoba terhadap harga – harga khusus variabel jawab berdasarkan syarat – syarat tertentu (sudah diperhitungkan terlebih dahulu), kemudian diselidiki pengaruhnya terhadap variabel kriteria. Karena itu, model simulasi pada hakikatnya mempunyai sifat induktif. Misalnya dalam persoalan antrian, dapat dicoba pengaruh bermacam – macam bentuk sistem pembayaran sehingga diperoleh solusi untuk situasi atau syarat pertibaan yang mana pun.

1. Sejarah Teori Antrian
Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan sangatlah menjengkelkan. Rata – rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangat tergantung kepada rata – rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu – waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama.
Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone
Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987).

2. Pengertian Antrian
Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda – beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hil ier dan Lieberman adalah sebagai berikut :
1. Sistem pelayanan komersial
2. Sistem pelayanan bisnis – industri
3. Sistem pelayanan transportasi
4. Sistem pelayanan social
Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model – model antrian, seperti restoran, kafetaria, toko – toko, salon, butik, supermarket, dan sebagainya.
Sistem pelayanan bisnis – industri mencakup lini produksi, sistem material – handling, sistem pergudangan, dan sistem – sistem informasi komputer. Sistem pelayanan sosial merupakan sistem – sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor – kantor dan jawatan – jawatan lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan lain – lain (Subagyo, 2000).

3. Komponen Dasar Antrian
Komponen dasar proses antrian adalah :
1. Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain – lain. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak. Menurut Levin, dkk (2002), variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dai percobaan acak. Variabel acak dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak kontinu.
2. Pelayan
Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap – tiap fasilitas pelayanan kadang – kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop.
3. Antri
Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan (Mulyono, 1991).
Penentu antrian lain yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Menurut Siagian (1987), ada 5 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu :
1. FirstCome FirstServed (FCFS) atau FirstIn FirstOut (FIFO) artinya, lebih dulu datang (sampai), lebih dulu dilayani (keluar). Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop.
2. LastCome FirstServed (LCFS) atau LastIn FirstOut (LIFO) artinya, yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama.
3. Service In Random Order (SIRO) artinya, panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba.
4. Priority Service (PS) artinya, prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang dalam keadaan penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.
Dalam hal di atas telah dinyatakan bahwa entitas yang berada dalam garis tunggu tetap tinggal di sana sampai dilayani. Hal ini bisa saja tidak terjadi. Misalnya, seorang pembeli bisa menjadi tidak sabar menunggu antrian dan meninggalkan antrian. Untuk entitas yang meninggalkan antrian sebelum dilayani digunakan istilah pengingkaran (reneging). Pengingkaran dapat bergantung pada panjang garis tunggu atau lama waktu tunggu. Istilah penolakan (balking) dipakai untuk menjelaskan entitas yang menolak untuk bergabung dalam garis tunggu (Setiawan, 1991).

4. Struktur Antrian
Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian :
1. Single Channel – Single Phase
Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu pelayanan.
2. Single Channel – Multi Phase
Istilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phasephase). Sebagai contoh : pencucian mobil.
3. Multi Channel – Single Phase
Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi kapan saja di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini adalah antrian pada teller sebuah bank.
4. Multi Channel – Multi Phase
Sistem Multi Channel – Multi Phase ditumjukkan dalam Gambar 2.5. Sebagai contoh, herregistrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem – sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapnya

5. Mekanisme Pelayanan
Ada 3 aspek yang harus diperhatikan dalam mekanisme pelayanan, yaitu :
1. Tersedianya pelayanan
Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat. Misalnya dalam pertunjukan bioskop, loket penjualan karcis masuk hanya dibuka pada waktu tertentu antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya. Sehingga pada saat loket ditutup, mekanisme pelayanan terhenti dan petugas pelayanan (pelayan) istirahat.
2. Kapasitas pelayanan
Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah langganan yang dapat dilayani secara bersama – sama. Kapasitas pelayanan tidak selalu sama untuk setiap saat; ada yang tetap, tapi ada juga yang berubah – ubah. Karena itu, fasilitas pelayanan dapat memiliki satu atau lebih saluran. Fasilitas yang mempunyai satu saluran disebut saluran tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan fasilitas yang mempunyai lebih dari satu saluran disebut saluran ganda atau pelayanan ganda.
3. Lamanya pelayanan
Lamanya pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang langganan atau satu – satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti. Oleh karena itu, waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu untuk semua langganan atau boleh juga berupa variabel acak. Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap sebagai variabel acak yang terpencar secara bebas dan sama serta tidak tergantung pada waktu pertibaan (Siagian, 1987).

6. Model – model Antrian
Pada pengelompokkan model – model antrian yang berbeda – beda akan digunakan suatu notasi yang disebut dengan Notasi Kendall. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alas an. Diantaranya, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model – model antrian, tetapi juga asumsi – asumsi yang harus dipenuhi (Subagyo, 2000).
Format umum model : (a/b/c);(d/e/f)
di mana :
a = distribusi pertibaan / kedatangan (arrival distribution), yaitu jumlah pertibaan pertambahan waktu.
b = distribusi waktu pelayanan / perberangkatan, yaitu selang waktu antara satuan – satuan yang dilayani (berangkat).
c = jumlah saluran pelayanan paralel dalam sistem.
d = disiplin pelayanan.
e = jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan ditambah garis tunggu).
f = besarnya populasi masukan.
Keterangan :
1. Untuk huruf a dan b, dapat digunakan kode – kode berikut sebagai pengganti :
M = Distribusi pertibaan Poisson atau distribusi pelayanan (perberangkatan) eksponensial; juga sama dengan distribusi waktu antara pertibaan eksponensial atau distribusi satuan yang dilayani Poisson.
D = Antarpertibaan atau waktu pelayanan tetap.
G = Distribusi umum perberangkatan atau waktu pelayanan.
2. Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan paralel.
3. Untuk huruf d, dipakai kode – kode pengganti :
FIFO atau FCFS = First – In First – Out atau First – Come First – Served.
LIFO atau LCFS = Last – In First – Out atau Last – Come First – Served.
SIRO = Service In Random Order.
G D = General Service Disciplint.
4. Untuk huruf e dan f, dipergunakan kode N (untuk menyatakan jumlah terbatas) atau (tak berhingga satuan – satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan).
Misalnya, model (M/M/1), berarti bahwa model menyatakan pertibaan didistribusikan secara Poisson, waktu pelayanan didistribusikan secara eksponensial, pelayanan adalah satu atau seorang, disiplin antrian adalah first – in first – out, tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk dalam sistem antrian, dan ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga. Menurut Siagian (1987), berikut ini adalah beberapa karakteristik dari sistem antrian untuk model (M/M/1):

A. KARAKTERISTIK SISTIM ANTRIAN
Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling population)
2. Antrian
3. Fasilitas pelayanan
Masing-masing komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri. Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah Karakteristik Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan.
1. Kedatangan Populasi yang akan Dilayani (calling population)
Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte).
Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan.
Contoh : Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,.
Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Simeon Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching system, kedatangan kendaraan di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3, 4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu toll bisa 3, 5, 8, dst.
Ciri distribusi poisson:
1. rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya
2. bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka pernyataan ini benar
a. probabilita bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk setiap interval
b. probabilita bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).
c. Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent
d. Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain.
Suatu faktor yang mempengaruhi penilaian distribusi kedatangan adalah ukuran populasi panggilan .
Contoh : jika seorang tukang reparasi sedang memperbaiki enam buah mesin, populasi panggilan dibatasi sampai dengan enam buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin bahwa kedatangan mengikuti distribusi Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan tidak konstan. Jika lima buah mesin telah rusak, tingkat kedatangan lebih rendah daripada bila seluruh mesin dalam keadaan operasi.
Perilaku kedatangan: Populasi yang akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada tiga jenis perilaku: reneging, balking, dan jockeying. Reneging menggambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.
2. Antrian
Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain.
3. Fasilitas Pelayanan
Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan, adalah sebagai berikut:
a. Tata Letak
Tata letak fisik dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut sebagai jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server) berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan serta satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.
Sistem antrian jalur berganda satu tahap (multi channel single server) adalah terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut , namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan. Sedangkan sistem antrian jalur berganda dengan tahapan berganda (multi channel, multi server) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap jenis layanan.
b. Disiplin Antrian
Ada dua klasifikasi yaitu prioritas dan first come first serve. Disiplin prioritas dikelompokkan menjadi dua, yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Sementara disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang iprioritaskan. Sedangkan disiplin first come first serve menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.
Dalam kenyataannya sering dijumpai kombinasi dari kedua jenis disiplin antrian tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai contoh, para pembeli yang akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian kurang dari sepuluh jenis barang (dengan keranjang) di super market disediakan counter tersendiri.
Karakteristik waktu pelayanan. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bias dikategorikan sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan. Jika waktu pelayanan acak, diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial.

B. PERILAKU BIAYA
Dalam sistem antrian ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan.
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda mengerjakan latihan berikut ini !
1. Sebutkan tiga komponen yang terdapat dalam sistem antrian?
2. Jelaskan karakteristik dari setiap komponen dalam sistem antrian.
3. Jelaskan jenis biaya dalam kaitannya dengan sistem antrian.
4. jelaskan perbedaan antara disiplin antrian, prioritas yang preemptive dan non preemptive.
5. berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang menggambarkan keempat desain sistem antrian
Dalam sistem antrian terdapat tiga komponen utama, yaitu: kedatangan populasi yang akan dilayani, antrian, dan fasilitas pelayanan. Setiap komponen memiliki karakteristik yang berbeda. Desain tata letak dalam sistem antrian bisa dibedakan menjadi empat, yaitu single channel single server, single channel multi server, multi channel single server, dan multi channel multi server. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yang merupakan penjumlahan dari biaya yang timbul karena menunggu dan biaya yang timbul karena menambah fasilitas layanan.

C. MERUMUSKAN MASALAH ANTRIAN
Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan misalnya : rata-rata jumlah kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase waktu luang dari pelayanan.
Ukuran prestasi ini dapat digunakan untuk memutuskan jumlah pelayanan yang harus diberikan, perubahan yang harus dilakukan dalam kecepatan pelayanan atau perubahan lain dalam sistem antrian. Dengan sasaran pelayanan, jumlah pelayan dapat ditentukan tanpa berpatokan pada biaya waktu tunggu.
Ukuran prestasi dan parameter model antrian ditentukan dengan notasi sebagai berikut:
λ = rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan persatuan waktu)
1/λ = rata-rata waktu antar kedatangan
µ = rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani persatuan waktu bila pelayan sibuk).
1/µ = rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan
ρ = faktor penggunaan pelayan (proporsi waktu pelayan ketika sedang sibuk)
Pn = probabilita bahwa n satuan (kedatangan) dalam sistem
Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian (rata-rata panjang antrian)
Ls = rata-rata jumlah satuan dalam sistem
Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem

Sumber: https://irnasianipar.wordpress.com/2014/12/04/pengertian-teori-antrian/