METODE
SIMPLEKS
Metode simpleks merupakan salah satu
teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik
pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan
pengalokasian sumberdaya secara optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari
nilai optimal dari program linier yang melibatkan banyak constraint
(pembatas) dan banyak variabel (lebih dari dua variabel). Penemuan metode ini
merupakan lompatan besar dalam riset operasi dan digunakan sebagai
prosedur penyelesaian dari setiap program computer.
Salah satu teknik penentuan solusi
optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks.
Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada
teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan
memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif.
Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap
yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi
sebelumnya (i-1).
Ada beberapa istilah yang sangat
sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya yaitu :
1.Iterasi adalah
tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai
tabel sebelumnya.
2.Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3.Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi.Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
2.Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3.Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi.Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
BENTUK BAKU
Sebelum melakukan perhitungan
iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum
pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku
dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk
sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel
basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi
sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan
semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada
bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala
tersebut masih harus tetap berubah.
Ada beberapa hal yang harus
diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :
1.
Fungsi kendala dengan pertidaksamaan
≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu
variabel slack.
2.
Fungsi kendala dengan pertidaksamaan
≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu
variabel surplus.
3.
Fungsi kendala dengan persamaan
dalam benttuk umum,ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).
Contoh Soal :
Selesaikan
kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :
Maksimum
z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3
Kendala
:
x1 +
x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 +
3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 +
6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥
0
Penyelesaian :
Bentuk
bakunya adalah :
Maksimum
z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 +
0s2 + 0s3 atau
z - 8 x1 -
9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 +
0s3 = 0
Kendala
:
x1 +
x2 + 2x3 + s1 = 2
2x1 +
3x2 + 4x3 + s2 = 3
7x1 +
6x2 + 2x3 + s3 = 8
x1,x2,x3 ,s1 ,
s2 , s3 ≥ 0
Solusi / table awal simpleks :
|
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
|
Z
|
-8
|
-9
|
-4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
S1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
0
|
2
|
|
|
S2
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
0
|
3
|
|
|
S3
|
7
|
6
|
2
|
0
|
0
|
1
|
8
|
Karena
nilai negative terbesar ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah
kolom pivot dan X2 adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai
kanan dengan kolom pivot terkecil adalah 1 bersesuaian dengan
baris s2, maka baris s2 adalah baris pivot dan s2 adalah
varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.
|
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
|
Z
|
-8
|
-9
|
-4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
|
S1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
0
|
2
|
2
|
|
S2
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
0
|
3
|
1
|
|
S3
|
7
|
6
|
2
|
0
|
0
|
1
|
8
|
8/6
|
Iterasi 1
Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai pada baris s2 pada
tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).
|
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
|
Z
|
||||||||
|
S1
|
||||||||
|
x2
|
2/3
|
1
|
4/3
|
0
|
1/3
|
0
|
1
|
|
|
S3
|
Perhitungan nilai barisnya :
Baris z :
-8
-9
-4
0
0
0 0
-9 ( 2/3
1
4/3
0 1/3
0 1
) -
-2 0
8 0
3 0
9
Baris s1 :
1
1
2
1
0
0 2
1
(2/3
1
4/3
0
1/3 0
1 ) -
1/3
0
2/3
1
-1/3
0 1
Baris s3 :
7
6
2
0
0
1 8
6 (
2/3
1 4/3
0
1/3
0 1 ) -
3
0
-6 0
-2
1 2
Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa
apakah tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x1 masih
negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini
:
|
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
|
Z
|
-2
|
0
|
8
|
0
|
3
|
0
|
9
|
-
|
|
S1
|
1/3
|
0
|
2/3
|
1
|
-1/3
|
0
|
1
|
3
|
|
X2
|
2/3
|
1
|
4/3
|
0
|
1/3
|
0
|
1
|
3/2
|
|
S3
|
3
|
0
|
-6
|
0
|
-2
|
1
|
2
|
2/3
|
Variabel masuk dengan demikian adalah X1 dan
variabel keluar adalah S3 .Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah
sebagai berikut :
Iterasi 2 :
|
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
|
Z
|
0
|
0
|
4
|
0
|
5/3
|
2/3
|
31/3
|
|
|
S1
|
0
|
0
|
4/3
|
1
|
-1/9
|
-1/9
|
7/9
|
|
|
X2
|
0
|
1
|
8/3
|
0
|
7/9
|
-2/9
|
5/9
|
|
|
X1
|
1
|
0
|
-2
|
0
|
-2/3
|
1/3
|
2/3
|
Tabel sudah optimal, sehingga
perhitungan iterasi dihentikan !
Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian
tinggi, khususnya jika angka yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan
baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti
jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih
panjang atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan
pembulatan.
Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya
merupakan pemeriksaan satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah
penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana semua
aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n,
kemungkinan terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n
kali
Sumber: http://awank38.blogspot.co.id/2015/01/metode-simpleks-dalam-program-linier.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar